Logaritmická rovnice do maturitního testu nepatří

ilustrační foto by Bratislavská župa (flickr.com) (CC BY 2.0)

V souvislosti s podzimním kolem státních maturit se vracíme k problematice maturitních testů a dostupnosti maturitních dat. K tématu připravujeme sérii analýz a tiskových zpráv. Jako první si můžete přečíst právní rozbor od Oldřicha Botlíka, který se zabývá oprávněností zařadit do maturitního testu úlohu zaměřenou na logaritmické funkce. Oldřich Botlík upozorňuje, že není možné do Katalogu požadavků ke státní maturitě zařadit úlohu, která neodpovídá obsahu rámcových vzdělávacích programech pro střední odborné vzdělávání.

Byl jsem během letních prázdnin požádán, abych pro Úřad veřejného ochránce práv zpracoval podrobné odůvodnění svého tvrzení, že zařazení požadavku „(žák dovede…), řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice“ do tzv. Katalogu požadavků nemá oporu v rámcových vzdělávacích programech pro střední odborné vzdělávání. Tímto požadavkem totiž Cermat „ospravedlňuje“, proč do testu Matematika jarního kola letošní státní maturity zařadil úlohu 15 (logaritmická rovnice). Podle mého názoru porušil při tvorbě Katalogu i zařazením úlohy školský zákon a diskriminoval maturanty ze středních odborných škol.

Mírně upravenou verzi odůvodnění zveřejňuji, neboť vysvětluje, proč protiargumenty, které zatím předložili oponenti, mé tvrzení nevyvracejí. Nepřijatelný je především protiargument, že v Katalogu smí být vše, co lze z rámcových vzdělávacích programů „logicky vyvodit“. Na příkladu komplexních čísel ukazuji, že takový proces by byl nekontrolovatelný. Zmíněný požadavek navíc ani „logicky vyvozen“ nebyl – dovednosti, které řešení úlohy 15 vyžaduje, jsou pro odborné vzdělávání zařazeny až v rámcových vzdělávacích programech nástavbového (pomaturitního) studia. Ze srovnání s obdobnou situací (využití vlastností goniometrických funkcí a jejich vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic, které do rámcových vzdělávacích programů zařazeno je) vyplývá, že záměrem autorů rámcových vzdělávacích programů pro SOŠ bylo nepožadovat podrobnější znalosti o logaritmech, které řešení úlohy 15 vyžaduje. Tento záměr je třeba respektovat.

Na přiměřenou odpověď Cermatu a MŠMT stále čekám. Za zařazení úlohy 15 do testu odpovídají a podle mého názoru mají povinnost svůj postup buď obhájit, nebo konstatovat, že se dopustily chyby, a postarat se o nápravu do budoucna.

I. Předmět vysvětlení

Předmětem vysvětlení je rozpor mezi Katalogem požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky platným od školního roku 2015/2016 (viz http://www.novamaturita.cz/katalogy-pozadavku-1404033138.html; dále Katalog) a obsahem rámcových vzdělávacích programů pro střední odborné vzdělávání zakončené maturitní zkouškou (viz http://www.nuv.cz/t/rvp-os; obory L0 a M).

Všechny rámcové vzdělávací programy pro střední odborné vzdělávání zakončené maturitní zkouškou jsou v části Matematické vzdělávání identické. Budu se proto dále odkazovat na Rámcový vzdělávací program pro obor 18 – 20 – M/01 Informační technologie (dále RVP SOŠ).

Katalog obsahuje v bodě 4.4. (str. 10) mj. tyto požadavky:

(Žák dovede)

  • (…), řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, (…)
  • upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich definiční obor.

Tyto požadavky nemají oporu v RVP SOŠ, který v části Matematické vzdělávání (str. 35–37) obsahuje – pokud jde o řešení rovnic – pouze požadavky (viz sloupec Výsledky vzdělávání, str. 36 dole, str. 37 nahoře):

(Žák)

  • řeší lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy, lineární a kvadratické nerovnice;
  • znázorní goniometrické funkce v oboru reálných čísel, používá jejich vlastností a vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic i k řešení rovinných i prostorových útvarů.

Pokud jde o učivo (viz sloupec Učivo, str. 36 dole), NEobsahuje RVP SOŠ logaritmické rovnice, nýbrž pouze

  • exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus.

MŠMT ČR poskytlo ČTK k tomuto rozporu oficiální vyjádření (viz http://www.ceskenoviny.cz/zpravy/ministerstvo-logaritmicke-rovnice-i-opravy-textu-do-maturit-patri/1365132). Podle zprávy ČTK v něm uvedlo, že rámcové vzdělávací programy nejsou zpracovány do největších podrobností. V katalogu se tak mohou objevit nejen témata, která vzdělávací programy obsahují, ale také ta, která z něj lze „logicky vyvodit“.

II. Odůvodnění

a) Argument „logického vyvozování“ je nepřijatelný

Takový výklad obsahu RVP SOŠ by vedl k nekontrolovatelnému rozšiřování učiva i požadavků na jeho zvládnutí. Lze to ilustrovat na příkladu komplexních čísel, která NEjsou povinnou součástí učiva ani podle RVP pro gymnázia (dále RVP G), ani podle RVP SOŠ. Komplexní čísla však JSOU kořeny určitých kvadratických rovnic, jejichž řešení (pokud existuje v oboru reálných čísel) je součástí požadavků podle RVP G i podle RVP SOŠ. Přistoupením na argument „logického vyvozování“ by se tedy komplexní čísla stala automaticky součástí středoškolského učiva podle všech RVP. V RVP SOŠ ovšem najdeme tuto větu (str. 35 dole): V oborech vzdělání se zvýšenými nároky na matematické vzdělávání rozšíří škola ve svém školním vzdělávacím programu matematické vzdělávání v souvislosti s potřebami odborného vzdělávání zejména o operace s komplexními čísly a řešení kvadratických rovnic v množině komplexních čísel. Autoři RVP SOŠ tedy zjevně nepředpokládali, že interpretace obsahu RVP SOŠ se bude opírat rovněž o „logické vyvozování“.

b) Rozdíly mezi různými rámcovými vzdělávacími programy mají význam a je třeba je respektovat

V některých internetových diskusích (viz například https://www.respekt.cz/spolecnost/spor-o-logaritmickou-rovnici-a-pravni-povedomi-ministryne-valachove; Dalibor Šmíd, 28. 6. 2016 13:52) se objevil názor, že úloha č. 15 využívá pouze vlastnosti logaritmů a schopnost řešit lineární rovnici v jedné proměnné.

Je proto užitečné rekapitulovat požadavky RVP G, RVP SOŠ a RVP pro nástavbové studium určené vyučeným s maturitou (RVP NÁST), které se týkají logaritmů a řešení logaritmických rovnic.

RVP G – studium orientováno teoreticky (str. 21–23)

  • rovnice a nerovnice – lineární rovnice, nerovnice a jejich soustavy, kvadratická rovnice (diskriminant, vztahy mezi kořeny a koeficienty), rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, rovnice s neznámou ve jmenovateli a pod odmocninou, logaritmické, exponenciální a goniometrické rovnice
  • (žák) aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi
  • funkce – lineární funkce, kvadratická funkce, funkce absolutní hodnota, lineární lomená funkce, mocninné funkce, funkce druhá odmocnina, exponenciální, logaritmické a goniometrické funkce, vztahy mezi goniometrickými funkcemi

RVP SOŠ – studium orientováno prakticky (str. 36)

  • exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus

RVP NÁST – studium dává hlubší teoretické základy vyučeným s maturitou (viz např. http://zpd.nuov.cz/RVP_4_vlna/RVP_2362L51_Optik.pdf; str. 27)

  • (žák) aplikuje funkční vztahy při řešení goniometrických, exponenciálních a logaritmických rovnic;
  • funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, exponenciální, logaritmická a goniometrické funkce.

Ze srovnání je patrné, že uplatnění vlastností logaritmů a vztahů (zařazené do RVP G) požaduje u oborů SOŠ až RVP pro nástavbové studium. Odpovídá to rozdílům v cílech vzdělávání jednotlivých kategorií žáků a studentů a zohledňuje to existující rozdíly v průběhu jejich vzdělávání. Zkrátka a dobře, rozdíly mezi RVP G a RVP SOŠ mají svůj význam, neboť naprostá většina maturantů na SOŠ „vystačí“ ve své práci se základní znalostí principu logaritmu. Ty využijí například při čtení diagramů s logaritmickou stupnicí (tak se znázorňuje třeba vývoj rychle rostoucích závislých proměnných), nebo – v případě žáků chemických a potravinářských oborů – při práci s ukazatelem pH pro kyselost či zásaditost látek.

c) Když autoři RVP SOŠ chtěli, aby žáci řešili určitý typ rovnic a uplatňovali při tom určité vlastnosti a vztahy, pak to v textu explicitně uvedli

Příkladem je učivo (str. 36 a 37)

  • goniometrie a trigonometrie – orientovaný úhel, goniometrické funkce ostrého a obecného úhlu, řešení pravoúhlého trojúhelníku, věta sinová a kosinová, řešení obecného trojúhelníku
  • goniometrické rovnice

a odpovídající výsledky vzdělávání (str. 36 a 37)

  • (žák) znázorní goniometrické funkce v oboru reálných čísel, používá jejich vlastností a vztahů při řešení jednoduchých goniometrických rovnic i k řešení rovinných i prostorových útvarů.

d) Ministerstvo i Cermat jsou při tvorbě Katalogu vázány § 3 odst. 2 a § 73 školského zákona

Jeden z protiargumentů, které se objevily, tvrdil, že MŠMT zmocňuje k zařazení požadavku na řešení logaritmické rovnice do Katalogu § 78a odst. 1 školského zákona.

  • 78a odst. 1
    (1) Rozsah vědomostí a dovedností, které mohou být ověřovány zkouškami společné části maturitní zkoušky, stanoví ministerstvo v katalozích požadavků zkoušek společné části maturitní zkoušky (dále jen „katalog“) pro příslušný zkušební předmět. Katalogy ministerstvo zveřejní vždy nejpozději 24 měsíců před termínem konání zkoušek způsobem umožňujícím dálkový přístup.

Toto zmocnění k sestavení Katalogu však není neomezené. Školský zákon obsahuje rovněž ustanovení § 3 odst. 2 a § 73, která samozřejmě platí rovněž pro Cermat a MŠMT a stanoví „tvořivosti“ při sestavování Katalogu jasné meze.

  • 3 Systém vzdělávacích programů
    (2) Pro každý obor vzdělání v základním a středním vzdělávání a pro předškolní, základní umělecké a jazykové vzdělávání se vydávají rámcové vzdělávací programy. Rámcové vzdělávací programy vymezují povinný obsah, rozsah a podmínky vzdělávání; jsou závazné pro tvorbu školních vzdělávacích programů, hodnocení výsledků vzdělávání dětí a žáků, tvorbu a posuzování učebnic a učebních textů a dále závazným základem pro stanovení výše finančních prostředků přidělovaných podle § 160 až 162.
  • 73
    Účelem závěrečné zkoušky a maturitní zkoušky je ověřit, jak žáci dosáhli cílů vzdělávání stanovených rámcovým a školním vzdělávacím programem v příslušném oboru vzdělání, zejména ověřit úroveň klíčových vědomostí a dovedností žáka, které jsou důležité pro jeho další vzdělávání nebo výkon povolání nebo odborných činností.

Školský zákon platí jako celek. Cermat a MŠMT mají povinnost dodržovat § 3 odst. 2 (resp.§ 73) rovněž při tvorbě a schvalování katalogů požadavků – leda by je nějaké ustanovení zákona této povinnosti explicitně zprostilo. Žádné takové „zprošťovací“ ustanovení ovšem neexistuje. Mám tedy za prokázané, že zařazením požadavku „(žák dovede…), řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice“ do Katalogu došlo k porušení § 3 odst. 2 a § 73 školského zákona.

III. Důsledky současného stavu
Na základě pasáží Katalogu týkajících se logaritmů a logaritmických rovnic byla na jaře 2016 do testu Matematika zařazena následující úloha.

1
Zařazením úlohy č. 15 do maturitního testu podle mého názoru došlo k porušení následujících ustanovení školského zákona – navzdory tomu, že její zařazení je v souladu s Katalogem:Autoři explicitně nazvali vztah rovnicí – zjevně ovšem nejde o žádný z typů rovnic uvedených v učivu podle RVP SOŠ, tedy o rovnici lineární, kvadratickou ani goniometrickou.

  • 3 odst. 2 a § 73 – úloha 15 maturitního testu totiž ověřuje znalosti a dovednosti, které RVP SOŠ nepředepisuje
  • 2 odst. 1 písm. a – úloha 15 maturitního testu totiž diskriminuje maturanty ze středních odborných škol, zatímco podle tohoto ustanovení je vzdělávání založeno na zásadách rovného přístupu každého státního občana České republiky nebo jiného členského státu Evropské unie ke vzdělávání bez jakékoli diskriminace z důvodu rasy, barvy pleti, pohlaví, jazyka, víry a náboženství, národnosti, etnického nebo sociálního původu, majetku, rodu a zdravotního stavu nebo jiného postavení občana.

Složení maturitní zkoušky, která je samozřejmě součástí vzdělávání, je totiž nutnou podmínkou studia na většině vysokých škol.

IV. Navrhovaná opatření

a) Co nejdříve zabránit zařazování logaritmických rovnic, případně úprav výrazů s logaritmy do maturitních testů.

b) Z příštího vydání Katalogu vypustit pasáže týkající se řešení logaritmických rovnic, případně úprav výrazů s logaritmy.

c) Iniciovat provedení důkladné kontroly souladu Katalogu s rámcovými vzdělávacími programy.

Google+Tweet about this on TwitterShare on Facebook

Přidat komentář

6 komentářů k "Logaritmická rovnice do maturitního testu nepatří"

Upozorňovat mě na
avatar
Seřadit dle:   nejnovějších | nejstarších | nejoblíbenějších
Josef Soukal

Do matematiky se plést nebudu, ale po letmém přečtení jedna drobnost: Je-li něco vyvozeno logicky, nelze to považovat za nepřijatelné. Odmítnout lze pouze závěry vytvářené na základě vadné logiky; autor to demonstroval sám na sobě příkladem s komplexními čísly.

Vladimir Stanzel
Vladimir Stanzel
Tohle je zajímavý moment: „Rámcové vzdělávací programy… jsou závazné… pro tvorbu a posuzování učebnic a učebních textů“. Objevuje se rozporovaná látka v ministerstvem schválených učebnicích SOŠ? Jestliže ano, pak zřejmě tyto učebnice vykazují stejný nedostatek a školy tak nutí žákům učivo, jehož obsah je také v rozporu s platnou školskou legislativou. Opravdu je to tak? Jaké má toto zjištění právní konsekvence? A dále: „Ze srovnání je patrné, že uplatnění vlastností logaritmů a vztahů (zařazené do RVP G) požaduje u oborů SOŠ až RVP pro nástavbové studium. “ Zmíněné RVP uvádí: „1.2 Pojetí rámcových vzdělávacích programů nástavbového studia Nástavbové studium je… Více »
Václav Votruba

A Úřad veřejného ochránce lidských práv jedná z vlastního popudu nebo mu dala iniciativa podnět? A provede vlastní šetření, tedy svůj rozbor problematiky nebo se spokojí s pány Botlíkem a Hausenblasem? A verdikt vynese Úřad nebo půjde celá věc před soud? A rovnici s více než dvěma neznámými v součinovém tvaru RVP odpovídá nebo ne?

Oldrich Botlik

Iniciativa Maturitní data – odtajněno nedávala Úřadu žádný podnět, já osobně také ne. A nevím ani o tom, že by mu dával podnět kolega Hausenblas. Nevím, jak bude Úřad postupovat, a netuším ani, v jaké fázi se jeho šetření nachází.
Pokud jde o vaši předposlední otázku, jistě na ni dokážete nalézt odpověď sám ve Sbírce zákonů (zákon č. 349/1999 Sb., o veřejném ochránci práv; zákon č. 561/2004 Sb., školský zákon). Úřad má rovněž vlastní webové stránky s přehlednými informacemi o jeho působnosti.

Václav Votruba

Děkuji za odpověď.

Vaclav Friedrich

Protože se tady hovoří o logice, dovolím si následující logickou konstrukci:
Má-li být státní maturita jednotná pro všechny střední školy a maturitní obory, musí být kritéria Katalogu požadavků podmnožinou (neostrou inkluzí) průniku RVP všech uvedených typů škol. Mohu si 100x myslet, že by logaritmická rovnice u maturity být mohla, ale pokud alespoň v jednom z těchto RVP chybí, pak tam být nemůže. Tečka.

wpDiscuz