Oldřich Botlík: V zadání maturitního testu z matematiky byla chyba

ilustrační foto (c) KL

Publikujeme text Oldřicha Botlíka, který analyzuje jednu z maturitních úloh z matematiky a dokazuje, že neplatí tvrzení ministerstva školství o tom, že všechny úlohy jsou formulovány jednoznačně a mají jednoznačná řešení.

Podle tiskové zprávy MŠMT potvrdila Nezávislá odborná komise pro maturitní zkoušku mimo jiné, že všechny úlohy maturitních testů jsou formulovány jednoznačně a mají jednoznačně správná řešení uvedená v klíči správných řešení. Podívejme se tedy na úlohu 11 testu z matematiky.

Řešením úlohy 11 je podle klíče úhel 248º, ale nikoli také úhel 112º.

Vzhledem k řešení v klíči ovšem nebyla úloha správně zadaná. Úhel je podle definice část roviny mezi dvěma polopřímkami vycházejícími ze stejného bodu – nikoli číslo. Nic tedy nebrání tomu, aby dva různé úhly měly stejnou velikost. V rovině existuje nekonečně mnoho různých úhlů o velikosti 112°. Těm, kteří tuhle část matematiky už zapomněli, nabízím srozumitelnou analogii.

Pepa může být vysoký nejen 170 cm, ale také 180 cm – i když je to rovněž výška Franty a Pepa není Franta. Kdyby zadání úlohy 11 začínalo slovy Pro dva různě velké úhly…, měla by opravdu jediné řešení. Obdobně, když bude zadání úlohy o lidech začínat slovy Pro dva různě vysoké lidi…, vyloučí u Pepy výšku 180 cm. Z chyby se navíc Cermat usvědčil sám. V jiné letošní úloze (obrázek níže) totiž správně použil termín „úhel“, když šlo o polohu různých částí roviny, a termín „velikost úhlu“, když šlo o to, jak jsou velké. Proč by tedy žáci, zvláště ti slabší, případně hodně přemýšliví, měli v úloze 11 najednou začít chápat „úhel“ v rozporu s definicí výhradně jako „velikost úhlu“?

K čemu mohlo zadání vést

Řešení β = 248º nepochybně vyhovuje zadání Cermatu. Žáci, kteří se řídili zadáním úlohy, ovšem správnou úvahou dospěli také k hodnotě β = 112º. Jak, to lze snadno vysvětlit. Úhly α = 112º, β = 112º na obrázku níže jsou totiž nepochybně různé, jak zadání požaduje, neboť leží každý jinde, mezi různými polopřímkami. Velikost úhlu β není menší než 0º ani větší než 360º a samozřejmě platí rovněž vztah cos α = cos β.

Kolik žáků uvedlo druhé řešení, případně obě?

V Cermatu znají jejich přesný počet, já si myslím, že jich je nejméně několik desítek, možná stovek. Veřejnost to ale nyní zjistit nemůže, neboť ke zpřístupnění anonymizovaných dat, agregovaných dat a grafických interpretací dat má podle publikačního kalendáře dojít „do 31. července 2019“. Právě kvůli podobným situacím by měl ovšem Cermat zveřejňovat četnosti odpovědí žáků (včetně četností odpovědí „podezřelých“) co nejdříve, tedy současně s klíčem správných řešení.

Tak by se totiž měla chovat instituce, která chce navrátit maturitní zkoušce prestiž. Maturanti mohou informace využít třeba k tomu, aby upustili od odvolání. Nebo naopak k tomu, aby je připravili co nejlépe. Pochybné vítězství „Kombajnu“ nad žáky, dosažené díky neopodstatněné informační převaze Cermatu a popírání nedostatků v testech, je ale pokaždé vítězstvím Pyrrhovým. Jde-li ministru Plagovi o vzájemnou důvěru v resortu, neměl by podobné praktiky trpět.

Především neškodit

Proč je takové vítězství pochybné? Pokud byť jen jediný žák uvedl jako výsledek hodnotu 112º, případně obě hodnoty 112º a 248º, měl podle mého názoru dostat 1 bod stejně jako žáci, kteří uvedli pouze hodnotu 248º. Jeho cesta k takovému výsledku je totiž správná.

Plošné testování je charakterizováno mimo jiné tím, že žák a hodnotitel jeho odpovědí v testu nemůžou vysvětlit případné nejasnosti jeden druhému tak, jako to jde mezi žákem a učitelem ve škole. Proto by hodnotitelé měli hledat přijatelná vysvětlení nečekaných odpovědí žáků – nikoli zarputile trvat na svém. Cermat hodnotu 112º nevyloučil a žáci neskládají zkoušku ze schopnosti empatie. Tu měl mít autor úlohy. Jestliže se mezi výsledky objevila také hodnota 112º, měli se v Cermatu zamyslet a hledat pro ni vysvětlení. V podobné situaci (jde o významnou zkoušku, která často rozhoduje o dalších životních osudech žáků) má Cermat projevit velkorysost a nadhled. Aby neškodil.

Ti žáci, kterým byl 1 bod upřen a jde jim o spravedlnost nebo o to, aby nepropadli, se nyní budou muset domáhat jiného hodnocení své odpovědi prostřednictvím odvolání, případně správní žalobou na ministerstvo školství (pokud ministerstvo nevyhoví jejich odvolání). Zbytečně to zatěžuje všechny zúčastněné. V matematice se tvrzení dokazují a Cermat nemůže dokázat, že hodnota 112º není řešením jeho úlohy. Ačkoli oceňuji, že letos poprvé zveřejnil vzorová řešení, nepostupoval v tomto případě dost důkladně.

Až v Cermatu začnou přistupovat k vlastním úlohám s pokorou a k odpovědím maturantů s empatií, rád si podobné články odpustím. Zatím však státní maturita každoročně poškozuje nevinné žáky, jimž stát navíc upírá informace, které mohou využít ke své obraně. A s tím se smířit nehodlám.

 

 

 

6
Přidat komentář

avatar
3 Comment threads
3 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
5 Comment authors
MilanVaclavFrantzMarekKubena Recent comment authors
  Odebírat komentáře  
nejnovější nejstarší nejlépe hodnocené
Upozorňovat mě na
Kubena Ales Antonin
Kubena Ales Antonin

Pane Botlíku, jak byste ve Vaší interpretaci vysvětlil fyzikální zákon „ùhel odrazu (světla) se rovná úhlu dopadu“ ?

Marek Rehacek
Marek Rehacek

Jenže ta věta zní „velikost úhlu…“

Nemůžete zaměňovat přesné věty, definice, zákony… za populární zkratky. To je jako „hůl do vody ponořená, zdá se býti nalomená“.

Frantz Liberntaun
Frantz Liberntaun

Dobrý den, pane Botlíku, ve vší úctě jsem přesvědčený, že se pletete. Zadání je jednoznačné a odpověď 112 není správně. K podpoře svého tvrzení přikládám důkaz: 1) beta je prvek z uzavřeného intervalu 0 až 2pí 2) prvky uzavřeného intervalu 0 až 2pí jsou reálná čísla 3) beta je tedy nutně reálné číslo 4) reálná čísla lze jednoznačně porovnávat 5) tedy pro dvě reálná čísla platí, že pokud jedno je rovno druhému, tak nejsou různá 6) 112 == 112 z toho vyplývá, že 112 není různé od 112 7) 112 je tedy v kolizi s omezující podmínkou pro zadání 8)… Více »

Vaclav Rozsypal
Vaclav Rozsypal

Pletete se Vy. Zadání hovoří jednoznačně o úhlech, přičemž autor vysvětluje že: „Úhel je podle definice část roviny mezi dvěma polopřímkami vycházejícími ze stejného bodu – nikoli číslo.“

Frantz Liberntaun
Frantz Liberntaun

Rozmyslel jsem si to a na základě diskuze, kterou jsem měl s přáteli na Facebooku jsem došel k závěru, že žádné z uvedených řešení není správné ani špatné. Úloha nedává smysl. Buď je to úhel a nebo je to číslo. V zadání je uvedený úhel a o kousek dál reálné číslo (prvek uzavřeného intervalu).

Milan Kochanik
Milan Kochanik

Tak úhel je především poměr vrcholového oblouku vůči poloměru. Takže třeba v jednotkové kružnici pro 45° to je ((2*pi*1)/8)/1=pi/4. ale také pro jiný poloměr, třeba R=2, pak to bude ((2*pi*2)/8)/2 = pi/4 takže jak vidět zcela jednoznačná definice nezávisící na poloměru. jistěže úhel jako pojem, řekněme odchylka či jaké slovo mezi dvěma přímkami vymezuje část roviny, do nekonečna se rozprostírající . jinak rovnici jako takové by samozřejmě vyhovovalo nekonečně mnoho úhlů, tedy 112°+ k*2PI, (K element Z), čili třeba 112°-1*2pi nebo 112° + 1* 2pi = 472°nebo 832°. Ale také 112°plus 0 *2PI = 112°coby úhel beta Jejich cosiny budou… Více »